无砝码天平3次称出12个小球中质量异常球问题.

无砝码天平3次称出12个小球中质量异常球问题

原题为：
     　有十二个小球特征相同，其中只有一个质量异常，要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个质量异常的球找出来。

解：
   设标准小球质量为w，并代表任意一个正常小球，将12个小球依次编号为a1,a2,...,a12，分组为：
　 a1,a2 ,a3 ,a4   为A1组
   a5,a6 ,a7 ,a8   为A2组
   a9,a10,a11,a12 为A3组

==（第一次）1选定任意2组--取A1,A2进行比较，如果
1   A1=A2 则A3组为异常球组
    重新分组为:
    B1:a9 a10
    B2:a11 w
    B3:a12 w

====（第二次）取B2 B3 任意1组--B2 与 B1 进行比较，如果
1.1   B1=B2 则 B1 B2 为正常组，B3(a12,w)为异常组，异常球为a12
1.2   B1 != B2 B3(a12,w) 为正常组,以B1<B2为例说明:
   表达式 EXP0:a9+a10 < a11 +w

========（第三次）取a9 a10 进行比较,如果
1.2.1 a9 = a10 则 a11 为异常球
1.2.2 a9 != a10 则 a11 为正常球，根据 EXP0,得 a9+a10 <2w
      所以异常球质量小于正常球，a9 与 a10 轻者即为异常球

2 　A1 != A2,则A3(a9,a10,a11,a12)为正常组;以A1<A2说明：
　　得表达式1: EXP1: a1+a2+a3+a4<a5+a6+a7+a8　　
    重新分组为:
    B1:a1,a2,a3
    B2:a4,a5,a6
    B3:a7,a8,w

====（第二次）取B3与B2比较
2.1 B3=B2
    a4=a5=a6=a7=a8=w 根据 EXP1 得
    a1+a2+a3<3w 得异常球质量小于标准球

========（第三次）取a1 a2 进行比较,如果
2.1.1 a1 = a2 则 a3 为异常球
2.1.2 a1 != a2 则 a3 为正常球，a1 与 a2 轻者即为异常球

2.2 B3>B2 则B1为正常组
    a1=a2=a3=w 根据 EXP1 得
                  3w+ a4           < a5 + a6 + a7 + a8
    (B3<B2)           a4 + a5 + a6 <           a7 + a8 + w
    相加          3w+2a4 + a5 + a6 < a5 + a6 + 2a7+2a8 + w
                     2a4           <            a7+ a8
========（第三次）取 a7 a8 比较
2.2.1 a7 =a8 a4 为异常球,质量小于标准球
2.2.2 a7!=a8 a4 为正常球,可知 2w < a7+a8,得a7 a8 中重者为异常球

2.3 B2<B3 则B1为正常组
    a1=a2=a3=w 根据 EXP1 得
                  3w+ a4           < a5 + a6 + a7 + a8
    (B2<B3)           a4 + a5 + a6 >           a7 + a8 + w
    转换:            -a4 - a5 - a6 <         - a7 - a8 - w
    相加          3w     - a5 - a6 < a5 + a6           - w
                           a5 + a6 > 2w
    可知异常球质量大于标准球
========（第三次）取 a5 a6 比较
2.3.1 a5 a6 中重者为异常球

由上述各节可知，a1,a2,...,a12 为异常球的概率均为1/12。

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Published on Sep 15, 2007 in categories